Modelos Matemáticos: Analíticos y Experimentales


La investigación operativa es la aplicación del método científico a los problemas complejos producidos en la dirección y gestión de grandes sistemas. La principal característica de dicha disciplina consiste en construir un modelo científico del sistema del cual se pueden predecir y comparar los resultados de diversas estrategias y decisiones, incorporando medidas del azar y del riesgo. El objetivo es ayudar a los responsables a determinar su política y actuaciones en forma científica. Los modelos matemáticos son tipos de modelos científicos, que emplean algún tipo de formulismo matemático para expresar relaciones, proposiciones sustantivas de hechos, variables, parámetros, entidades y relaciones entre variables y/o entidades u operaciones, para estudiar comportamientos de sistemas complejos ante situaciones difíciles de observar en la realidad.
Dentro de los modelos matematicos, los modelos analiticos son aquellos que se construyen a partir de formulas y funciones matematicas, de manera que ingresando los valores posibles como variables en dichas funciones, el resultado de las mismas predice el comportamiento del sistema modelado. Permiten obtener resultados y conclusiones sobre el sistema estudiado a priori, a partir del analisis matematico y lógico de las funciones que modelan el sistema. Sin embargo, a pesar de esta ventaja, los modelos analiticos requieren generalmente de una simplificacion considerable de la realidad a modelar, debido a que la complejidad del modelo matemático mas cercano a l sistema real puede hacer imposible idear un algoritmo de solución. Por lo tanto, el modelo puede mantenerse no factible en términos de cálculo. Los modelos resultantes se obtienen a raiz de sacrificar detalles complejos de representar matematicamente, en pos de obtener un modelo util.
Los modelos experimentales o heuristicos, son los modelos que permiten obtener soluciones en base a la experiencia. Utilizan tambien formulas matematicas, generalmente mas simples que los modelos analiticos, pero a diferencia de estos, no permiten conocer demasiados aspectos del sistema apriori en base al analisis de dichas funciones, sino que para obtener la informacion es necesaria una validacion empirica, iterando ejecuciones del modelo. La naturaleza empirica y circunstancial de estos modelos hace que estos presenten dificultades para establecer una generalizacion de los resultados.
La matematica es una ciencia puramente analitica, mientras que la investigacion operativa es, o deberia ser, practica, un instrumento para la toma de decisiones.



Los modelos analíticos
METODOS DETERMINISTICOS: Ej, Programación lineal, programación entera, probabilidad de transporte, programación no lineal, teoría de localización o redes, probabilidad de asignación, programación por metas, teoría de inventarios, etc.

METODOS PROBABILISTICOS: Ej. Cadenas de Markov, teoría de juegos, líneas de espera, teoría de inventarios, etc.

METODOS HIBRIDOS: Tienen que ver con los métodos determínisticos y probabilísticos como la teoría de inventarios.

Programación Lineal.
Teoría de Colas.
Teoría de Inventarios.
Teoría de Juegos.

Los modelos experimentales o heuristicos, son los modelos que permiten obtener soluciones en base a la experiencia,

Etapas para la creación de modelos matematicos:

1.- Descripción del sistema. Se trata de estudiar el sistema real con el fin de identificar sus elementos, las relaciones entre ellos y los efectos que la variación de cada uno de ellos puede tener sobre los demás.

2.- Definición inequívoca de cada magnitud y variable. Teniendo en cuenta sus unidades y estimando en lo posible sus intervalos de variabilidad.

3.- Planteamiento y desarrollo de las ecuaciones.

4.- Calibrado. Determinación de los valores de los parámetros en un caso concreto.

4.- Análisis de sensibilidad. Efecto que la variación de los parámetros tiene sobre las variables. Si se encuentra que una variable es muy sensible a un parámetro determinado, habrá que poner especial cuidado en el calibrado de éste.

5.- Evaluación del modelo. Estudiar si el modelo es capaz de dar respuesta a cuestiones concretas, es decir, si los resultados obtenidos con él se ajustan razonablemente a las observaciones realizadas. Una medida de la bondad del modelo puede cuantificarse por medio de la variable estadística chiÄcuadrado:
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donde N es el número de puntos experimentales, fi es la respuesta calculada por el modelo, mientras yi es el valor verdadero de la variable observada en el punto i.

Una de las primeras consideraciones que se toman en cuanta en la formulación de un modelo matemático reside en saber cuántas variables se deben incluir en el modelo.
La segunda consideración importante en la formulación del modelo matemático se refiere a la complejidad de los mismos. Por lo general, estamos interesados en al formulación de modelos matemáticos que produzcan descripciones o predicciones, razonablemente exactas, referentes al comportamiento de un sistema dado y reduzca a la vez, el tiempo de computación y programación. Sin embargo, no es posible establecer con exactitud, la interdependencia de loas características den los modelos matemáticos, ya que tanto él numero de variables en un modelo, como su complejidad, se encuentran directamente relacionadas con los tiempos de programación, cómputo y validez. Si alteramos cualquiera de las citadas características, alteramos a su vez el resto de ellas.
Una tercera consideración en la formulación de modelo matemáticos para simulación en computadora estriba en el área de la eficiencia de computación, es decir, la complejidad del algiritmo1.
Entendemos por ello, la cantidad de tiempo de computo requerida para lograr algún objetivo experimental específico.
El tiempo consumido para la programación de la computadora, constituye una cuarta consideración al formular modelos para simulación.

TIPOS DE MODELOS MATEMÁTICOS
Como los modelos matemáticos son los que más interesan principalmente, los separaremos por categorías, lo que nos dará un soporte lógico para clasificarlos. Sin que esta clasificación pretenda estar completa; la podemos a disposición del lector, para que éste tenga una mejor comprensión de las diferencias esenciales entre los modelos.

CUANTITATIVOS Y CUALITATIVOS
Cuando construimos un modelo matemático e insertamos símbolos para representar constantes y variables ( en gran parte números), Llamamos a esto un modelo cuantitativo. Se considera que una ecuación matemática es un modelo de este tipo, porque representa una abstracción de las relaciones o condiciones entre constantes y variables. Las fórmulas, matrices, diagramas o series de valores que se obtienen mediante procesos algebraicos son ejemplos comunes de los modelos matemáticos.
Los modelos que se ocupan de las cualidades de los componentes se llaman cualitativas. Hay muchos problemas en los que no pueden cuantificarse exactamente debido a uno o más de los siguientes motivos: técnicas inadecuadas de medición, necesidad de muchas variables, algunas variables desconocidas, relaciones especiales desconocidas, relaciones demasiado complejas para expresarse en forma cuantitativa. Sin embargo, mediante el empleo del análisis lógico, sistemas de clasificación, métodos de ordenamiento, teoría de conjuntos, análisis dimensional, investigación de operaciones, análisis de decisiones y simulación se pueden obtener ciertos valores representativos del sistema bajo análisis.

ESTANDAR Y HECHOS A LA MEDIDA
Se usan modelos estándar para describir las técnicas que han llegado a asociarse con la investigación de operaciones (I. O.). Para usar esas técnicas se insertan los valores (números) apropiados de un problema específico de negocios en el modelo estándar para obtener una respuesta.
Se obtiene un modelo hecho a la medida cuando se usan los conceptos básicos de diversas disciplinas, y especialmente las matemáticas, para construir un modelo de ajuste al problema de que se trata. Un ejemplo de este caso es el Análisis Veture [Thierauf, 1995], utilizado en investigación de operaciones, que reúnen varios métodos estándar de la I. O..